LÓGICA MATEMÁTICA
Lógica matemática. Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.Inicio
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la Filosofía, Matemáticas, Computación, Física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones.
La evolución de la lógica está ligada a la evolución intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento se puede afirmar que su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge desde el momento en que el hombre al enfrentarse a la naturaleza empieza a observar, experimentar, deduce y razona.
Durante el periodo 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia los principios formales de las matemáticas, a este periodo se le llamo periodo clásico en donde sus principales representantes son: Platón que el introdujo sus ideas y abstracciones; Aristóteles que presentó el razonamiento ductivo y sistemático y Euclides que fue el que tuvo mayor influencia ya que este estableció el método axiomático.
Platón
Aristóteles
Los tratados de lógica de Aristóteles, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia.
Objetivos
El objetivo de la lógica matemática es cuestionar los conceptos y las reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una verdadera matemática.
Álgebra de la lógica
Parte de la lógica matemática basada en la aplicación de los métodos algebraicos al estudio de los objetos lógicos: clases y proposiciones. Por una parte, la proposición expresa un sentido (juicio); por otra, designa una verdad (V) o una mentira (M). Así, las proposiciones «El Volga desemboca en el mar Caspio» y «2 x 2= 4» expresan un sentido diferente, pero ambas designan una verdad (tienen el significado de V). [1]
El álgebra de la lógica examina las proposiciones sólo desde el punto de vista de su significado, con la particularidad de que se consideran equivalentes las que poseen un mismo significado de veracidad. [1]
El álgebra de la lógica utiliza la notación simbólica (Simbolismo lógico). Además de los símbolos de las proposiciones, se emplean símbolos para las operaciones: conjunción, disyunción, implicación, negación, con los cuales el álgebra de la lógica forma unas expresiones partiendo de otras. [1]
Una expresión será compuesta si ha sido formada por otras mediante operaciones algebraicas lógicas; en el caso contrario, será simple. Dos expresiones se llaman equivalentes si en cada combinación posible de significados de las expresiones simples en ellas contenidas presentan significados iguales. Así A ® B es equivalente a Aœ Ë B, dado que en las cuatro posibles combinaciones de significados de V y M para A y B: VV, VM, MV, MM, A ® B presenta el mismo significado que Aœ Ë B. [1]
En relación con los conceptos introducidos, se plantean en el álgebra de la lógica una serie de problemas a cuya resolución se aplica esta disciplina. Históricamente, el álgebra de la lógica surgió como álgebra de las clases (Boole) y sólo después fue interpretada como álgebra de las proposiciones. Con los trabajos de V. I. Shestakov y de Claude Shannon, el álgebra de la lógica encuentra amplia aplicación en la teoría de los esquemas eléctricos y de los esquemas con relés de contacto.
La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística,30 es parte tanto de la lógica como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento de la lógica matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares del sujeto. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, a través del estatus del axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales.
Lógica matemática (o lógica simbólica)
Se ha formado como resultado de aplicar, en el terreno de la lógica, los métodos formales de la matemática basados en el empleo de un lenguaje especial de símbolos y fórmulas. En la lógica matemática, el pensamiento lógico de contenido (procesos del juicio y de la demostración) se estudia representándolo por medio de sistemas lógicos formales o cálculos. Resulta, pues, que la lógica matemática, por su objeto es lógica, y por su método es matemática. La lógica matemática contiene generalizaciones de largo alcance, y el desarrollo de las ideas y métodos de la lógica formal tradicional constituye precisamente la etapa presente del desarrollo de la lógica formal. La lógica matemática contemporánea incluye en sí una serie de cálculos lógicos, constituye una teoría sobre dichos cálculos, acerca de sus premisas, propiedades y aplicaciones. Junto al estudio de la estructura formal de los cálculos lógicos (Sintaxis lógica), en la lógica matemática surge también la necesidad de examinar las relaciones entre los cálculos y las esferas de contenido que sirven para las interpretaciones y modelos de dichas relaciones. En esta cuestión se esboza la problemática de la semántica lógica. La sintaxis lógica y la semántica se incluyen en la metalógica, teoría sobre los recursos para describir las premisas y las propiedades de los cálculos lógicos. El descubrimiento del examen formal de la lógica pertenece a Aristóteles (siglo IV a. n. e.). (Silogística). En su forma primitiva algunos conceptos iniciales de la lógica matemática se encuentran ya en la teoría de la escuela estoica de Megara (siglo III a. n. e.). Pero, al parecer, fue Leibniz quien por primera vez, formuló la idea de cálculo lógico. De todos modos, la lógica matemática como disciplina independiente sólo se constituyó a mediados del siglo XIX gracias a los trabajos de George Boole. Con él se inicia el desarrollo de la denominada álgebra de la lógica. Ernst Schröder en sus Lecciones sobre el álgebra de la lógica (1890-95) resumió y sistematizó los resultados de dicho desarrollo. A fines del siglo XIX en el estudio de la lógica matemática se inicia una nueva dirección relacionada con las investigaciones de la matemática tendientes a fundamentar sus conceptos y sus procedimientos demostrativos. En las fuentes de la dirección aludida, se encuentran los trabajos de Gottlob Frege. Contribuyeron en gran manera a su desarrollo Bertrand Russell y Alfred Whitehead (“Principia Mathematica”, 1910-1913) y David Hilbert. En este período, se crean los sistemas lógicos fundamentales, ya clásicos: el cálculo proposicional y el cálculo de predicados. La presente etapa de la lógica matemática se caracteriza por las investigaciones que en ella se realizan sobre los diferentes tipos de cálculos lógicos, por el interés hacia los problemas de la semántica y, en general, de la metalógica, hacia las cuestiones de la aplicación especial, científica y técnica, de la lógica. Los problemas que plantea la fundamentación de la matemática hacen que paralelamente a los trabajos que se llevan a cabo en la esfera de la lógica clásica se elabore la lógica constructiva. Al análisis de los fundamentos de la lógica están unidas las investigaciones concernientes a la lógica combinatoria. Se crea la teoría de la lógica polivalente. Los intentos de resolver el problema de cómo formalizar las investigaciones lógicas elevan a la creación de cálculos de una implicación rigurosa y fuerte. Se están sentando las bases de la lógica modal. Por otra parte, la lógica matemática ejerce una gran influencia sobre la propia matemática moderna, algunos de cuyos aspectos esenciales han surgido de ella; así ha ocurrido, por ejemplo, con las teorías de los algoritmos y de las funciones recursivas. La lógica matemática halla aplicación en electrónica (investigación de los relés de contacto y de los esquemas electrónicos), en técnica calculatoria (programación), en cibernética (teoría de los dispositivos automáticos), en neurofisiología (modelación de redes neuronales), y en lingüística (lingüística estructural y semiótica). La vieja lógica formal no conocía esa estrecha concatenación de la problemática lógica con la resolución de los problemas científicos especiales, ni la utilización de la lógica como instrumento de las investigaciones científicas concretas.VER VÍDEO REFERENTE
Fuentes:
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
http://www.filosofia.org/enc/ros/log8.htm
https://www.ecured.cu/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
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